/ / Eşitsizlikler nasıl çözülür? Kesirli ve kare eşitsizlikleri nasıl çözülür?

Eşitsizlikler nasıl çözülür? Kesirli ve kare eşitsizlikleri nasıl çözülür?

Matematiksel eşitsizlik kavramı ortaya çıktıderin antika. Bu, ilkel insanın çeşitli nesneleri puanlarıyla ve eylemleriyle karşılaştırması ve sayması gerektiğinde gerçekleşti. Antik çağlardan beri, Arşimed, Öklid ve diğer ünlü bilim adamları, matematikçiler, astronomlar, tasarımcılar ve filozoflar tartışmalarında eşitsizlikler kullandılar.

Ama onlar, kural olarak, eserlerinde kullandılarsözel terminoloji. İlk kez, her öğrencinin bugün bildiği formda “daha ​​fazla” ve “daha ​​az” kavramlarını belirleyen modern işaretler, İngiltere'de icat edilmiş ve uygulanmıştır. Matematikçi Thomas Garriot'un torunları böyle bir hizmet yaptı. Ve yaklaşık dört yüz yıl önce oldu.

eşitsizlikler nasıl çözülür

Birçok çeşit eşitsizlik var. Bunlar arasında basit, bir, iki veya daha fazla değişken içeren kare, kesirli, karmaşık ilişkiler ve hatta bir ifade sistemi ile temsil edilir. Ve eşitsizliklerin nasıl çözüleceğini anlamak için, çeşitli örnekleri kullanmak en iyisidir.

Treni kaçırmayın

Başlamak için, bir kırsal yerleşim yeri olduğunu hayal edinköyüne 20 km uzaklıkta bulunan tren istasyonuna doğru acele arazi. Trene geç kalmamak için saat 11'de yola çıkmadan önce evden ayrılmalı. Hızının 5 km / s olması durumunda ne zaman yapılmalıdır? Bu pratik problemin çözümü ifadenin koşullarının yerine getirilmesine indirgenmiştir: 5 (11 - X) ≥ 20, burada X kalkış zamanıdır.

Bu anlaşılabilir, çünkü gerekli mesafeKöylüyü istasyona aşmak için hareket hızına eşit olarak yoldaki saat sayısı ile çarpılır. Bir insan daha erken gelebilir, ama geç kalamaz. Eşitsizlikleri nasıl çözeceğimizi bilmek ve becerilerimizi pratiğe uygularken, cevap olarak X ≤ 7 ile sonuçlanırız. Bu, köylünün sabah saat yedide tren istasyonuna ya da biraz erken gitmesi gerektiği anlamına gelir.

Koordinat çizgisindeki sayısal boşluklar

Şimdi tarif edilenin nasıl görüntüleneceğini öğreniyoruzkoordinat çizgisindeki ilişkiler. Yukarıda elde edilen eşitsizlik katı değildir. Değişkenin 7'den küçük değerler alabileceği ve bu sayıya eşit olabileceği anlamına gelir. Başka örnekler veriyoruz. Bunu yapmak için, aşağıdaki dört rakamı dikkatlice göz önünde bulundurun.

Kesirli eşitsizlikler nasıl çözülür?

İlkinde grafiği görebilirsinizboşluk resmi [-7; 7]. Bir koordinat çizgisine yerleştirilen ve sınırlar dahil olmak üzere -7 ile 7 arasında bulunan bir dizi sayıdan oluşur. Bu durumda, grafikteki noktalar dolu daireler olarak tasvir edilir ve boşluk, köşeli parantezler kullanılarak kaydedilir.

İkinci çizim grafiktir.katı eşitsizliğin temsili. Bu durumda, delinmiş (gölgelenmemiş) noktalarla gösterilen sınır numaraları (7 ve 7) belirtilen kümeye dahil değildir. Ve boşluğun kendisi, aşağıdaki gibi parantez içinde yapılır: (-7; 7).

Yani, eşitsizliklerin nasıl çözüleceğini öğrenmek Bu tür ve benzer bir cevap aldıkSöz konusu sınırlar arasında, -7 ve 7 hariç- sayılar içerdiğinden, aşağıdaki iki durum benzer şekilde değerlendirilmelidir. Üçüncü şekil boşlukların (-8; -7) U [7; + ∞] ve dördüncü - (-∞; -7) U (7; + ∞) görüntülerini göstermektedir.

Birinde iki ifade

Aşağıdaki girişi genellikle bulabilirsiniz: 7 <2X - 3 <12. Çift eşitsizlikler nasıl çözülür? Bu, ifadeye hemen iki koşulun getirildiği anlamına gelir. Ve her biri X değişkeni için doğru cevabı almak için dikkate alınmalıdır. Bu durumu dikkate alarak, 2X - 3> 7 ve 2X - 3 <11 ​​oranlarından elde ederiz:

5 <X <7. Son cevap şöyle yazılmıştır: (5; 7). Bu, değişkenin sınırlar hariç, 5 ve 7 rakamları arasındaki aralıkta bir dizi değer alması anlamına gelir.

Denklemle benzer özellikler

Denklem bir ifadedirişareti = ile birleşir, bu da her iki parçasının (sol ve sağ) büyüklükte aynı olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, bu tür ilişkiler genellikle, bir manivela ile monte edilen ve bağlanan çanaklara sahip olan antik ölçeklerin imgesi ile ilişkilidir. Her iki uç aynı ağırlığa sahipse, bu cihaz her zaman dengede olur. Aynı zamanda, sol ve sağ kısımlar aynı kitlenin eklenmesi veya kaybedilmesi durumunda pozisyon değişmez.

kare eşitsizliği çözümü

Her iki parçaya matematiksel bir denklemdeeşitlik, böylece kırılmaz, aynı numarayı da ekleyebilirsiniz. Ancak, olumlu veya olumsuz olabilir. Bu davadaki eşitsizlikler nasıl çözülür ve onlarla aynısını yapmak mümkün mü? Önceki örnekler, evet olduğunu göstermiştir.

Denklem farkı

<Veya> ile bağlanan ifadenin iki bölümüçoğaltılabilir ve herhangi bir pozitif sayıya bölünebilir. Bu durumda, ilişkinin gerçeği ihlal edilmez. Fakat eşitsizliği, eksi işareti ile öncelenen negatif ve tamsayı faktörlerinin kesirleriyle nasıl çözebiliriz? Burada durum tamamen farklı.

Bir örnek üzerinde sıralayalım: -3Х <12. Sol tarafta bir değişken seçmek için, her birini -3'e bölmeniz gerekir. Bu durumda, eşitsizlik işareti tersine çevrilir. Elde ediyoruz: X> -4, bu göreve cevap.

Aralık yöntemi

Eşitlik, ikinci güce yükseltilmiş bir değişken içeriyorsa kare olarak adlandırılır. Bu ilişkinin bir örneği aşağıdaki ifadedir: X2 - 2x + 3> 0. Kare eşitsizlikleri nasıl çözülür? En uygun yol aralama yöntemidir. Planın uygulanması için ilişkinin sol tarafını dikkate almalısınız. Bu çıkıyor: (X - 3) (X + 1). Daha sonra fonksiyonun sıfırlarını bulmak ve elde edilen noktaları koordinat çizgisinde doğru sıraya yerleştirmeniz tavsiye edilir.

eşitsizlikler

Ardından, ortaya çıkan işaretleri dağıtmanız gerekir.aralıklar, bu aralığa ait sayılardan herhangi birinin ifadesiyle yer değiştirir. Dahası, basit durumlarda, genellikle bunlardan en az biri ile başa çıkmak ve geri kalanını alternatif kuralına göre düzenlemek yeterlidir. Sonuç olarak, sadece nihai bir çözüm elde etmek için uygun aralıkları seçmek kalır.

Buradaki kare eşitsizlikler kanuna uyuyorEksi ve eksi olanlara negatif alanların yazışmaları artılar. Yani, ifade sıfırdan büyükse, bir + işareti ile işaretlenmiş sayısal aralıkların alınması gerekir. Aksi halde, - ile işaretli alanlar olacaktır. Böylece, eşitsizliğimize yönelik çözüm şu şekilde yazılmıştır: (-∞; -1) U (3; + ∞).

Boşluk yönteminin diğer örnekleri

Açıklanan yöntem diğerine cevap verirÖnemli bir soru: Bu durumda aynı aralık yöntemi tamamen uygulanabilirse, kesirli eşitsizliklerin nasıl çözüleceği? Aşağıda verilen örneği kullanarak, bunun nasıl yapılabileceğini daha ayrıntılı olarak ele alalım.

kare eşitsizlikleri nasıl çözülür

Burada, fonksiyonun sıfırları -9 ve 4 puanlarıdır. Bir çözüm bulmak için bunları koordinat çizgisine koymanız ve boşluk işaretlerini belirlemeniz, artı işaretli olanları seçmeniz gerekir. Sadece şekil 4'ün gölgeli olduğu not edilmelidir.

-9 dahil edilmediğinden başka bir nokta oyulacakgeçerli değerler aralığında. Sonuçta, payda iken sıfıra çıkar, matematikte imkânsızdır. Kesirli eşitsizlikler nasıl çözülür? Bu durumda, son cevap, aralıkların birliği olacaktır: (-∞; -9) U [4; + ∞).

Grafikteki paraboller

Eşitsizliklerle ilgili her şeyi bulmak çoğu zaman yardımcı olmuyorkoordinat çizgisinde sadece çizimler var, aynı zamanda Kartezyen düzlemindeki görüntüler de var. İkinci dereceden bağımlılığın grafiği, bilindiği gibi, bir paraboldür. Bu türden bir şematik çizim bile, ortaya atılan sorulara neredeyse tamamen cevap verebilir. Kare eşitsizlikleri çözme fikri veren bazı parabol türlerini düşünün.

Burada her şeyden önce kendimiz için bazı gerçekleri netleştireceğiz. Bu türden herhangi bir ifade, şöyle yazılır: ah2 + I + C = 0. Dahası, eğer katsayının a pozitif olduğu ortaya çıkarsa, o zaman parabol dalların tepesiyle, aksi durumda aşağı doğru çekilmelidir. Ve denklemin kökleri, fonksiyon grafiğinin OX ekseni ile kesiştiği noktalardır.

çift ​​eşitsizlikleri nasıl çözülür

yorumlama

Yukarıdaki ifadelerin çok önemli olduğunu biliyorumkare eşitsizlikleri anlamak ve bunlarla ilgili soruları cevaplamak. Kartezyen düzlemi üzerine bir parabol diyagramı çizildikten sonra, çözüm için işlevin hangi noktada (yani, OU ekseni boyunca noktaların koordinatlarını) üsleri + ve - aldığını bulmak gerekir. Dahası, eğer eşitsizlik> işaretini içeriyorsa, çözümü X değişkeni tarafından pozitif Y ile kabul edilen değerler kümesi olacaktır.

Bir <işareti olması durumunda, göstergeler cevapta belirtilmiştir.W negatifine sahip X için, parabolün OX ekseni ile hiç kesişmediği ortaya çıkar. Bu, D <0 olduğunda olur, o zaman, grafik üst yarım düzlemde bulunuyorsa, işaretiyle> kare eşitsizliği cevabı aralıkları (-∞; + ∞) olacaktır. Ve <için çözüm boş bir kümedir. Alt yarı düzlemde durum tam tersidir.

Grafik görüntülerin faydaları hakkında

Kartezyen düzlemindeki görüntüler esasendenklem sistemleri için görevi kolaylaştırmak. Şekiller açıkça, çizilen çizgilerin kesişme noktaları olan çözümleri göstermektedir. Sadece koordinatlarını hesaplamak ve cevabı kaydetmek için kalır.

Kesirler ile eşitsizliklerin nasıl çözüleceği

Aynısı eşitsizlikler için de geçerlidir. Örneğin, y ≤ 6 - x oranına göre çözüm (şekilden de anlaşılacağı gibi) y = 6 - x düz çizgisinin yanı sıra bu sınırın altında bulunan yarım düzlemdir. Kesin bir cevap için, grafik üzerinde herhangi bir noktaya değinebilirsiniz (örneğin (1; 3) ve onun koordinatlarını eşitsizliğin yerine koyabilirsiniz.

Y ≥ x eşitsizliği2 sınırları dahil olmak üzere parabolün kabında bulunan Kartezyen düzlemi üzerinde bir bölge ile tanımlanır. Ve bu sektörlerin kesişme noktasında, şu şekilde yazılı orana bir çözüm bulabilirsiniz: x2 ≤ y ≤ 6 - x. Parabolün alt çizgisiyle sınırlı olacak ve üst kısmı düz kesecek. Emin olmak için tekrar kontrol yapacağız ve bu alana ait herhangi bir noktanın koordinatlarını değiştireceğiz.

Al (1; 4). Aldığımız: 1 1 4 ≤ 6 - 1, yani yine doğru oran. Burada yine, eşitsizliklerin, önemli farklılıklara sahip olmalarına rağmen, denklemlerle benzer özelliklere sahip olduğunu not etmek mantıklıdır.

İlgili haberler


Yorumlar (0)

Yorum ekle